Question

3．已知函数f（x）=1nx-a（x-1），g（x）=x-e^x-1，曲线y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线相同．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x≥1时，g（x）≤kf（x）恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的导数，根据f′（0）=g′（0），求出a的值，从而解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）先求出e^x-1≥x，设h（x）=g（x）-kf（x），根据放缩法以及函数的单调性通过讨论k的范围，求出k的具体范围即可．

解答 解：（1）g′（x）=1-e^x-1，g′（1）=0，
故f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，f′（1）=1-a=0，解得：a=1，
故f（x）=lnx-（x-1），x＞0，
f′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（2）x≥1时，由（1）f（x）≤f（1）=0，
而g′（x）=1-e^x-1≤g′（1）=0，
故g（x）在[1，+∞）递减，g（x）≤g（1）=0，故x≤e^x-1，
令h（x）=g（x）-kf（x）=（k+1）x-e^x-1-klnx-k，（x≥1），
则h′（x）=k+1-e^x-1-$\frac{k}{x}$≤k+1-x-$\frac{k}{x}$，
①k=1时，h′（x）≤0，h（x）在[1，+∞）递减，
h（x）≤h（1）=0，成立；
②k＜0时，f（x）≤0，则kf（x）≥0，而g（x）≤0，不成立；
③0≤k＜1时，h′（x）=k+1-e^x-1-$\frac{k}{x}$，h″（x）=-e^x-1+$\frac{k}{{x}^{2}}$，h″（x）在[1，+∞）递减，
而h″（1）=-1+k＜0，故h″（x）＜0，h′（x）递减，
故h′（x）≤h′（1）=0，故h（x）在[1，+∞）递减，
h（x）≤h（1）=0，成立；
④k＞1时，h″（1）＞0，h′（x）在[1，+∞）先递增再递减，
故h′（x）在[1，+∞）有2个零点，x=1，x=x₀，且x₀＞1，
故h（x）在[1，x₀）递增，在（x₀，+∞）递减，
故存在h（x₀）＞h（1）=0，不合题意；
综上，k∈[0，1]．

点评 本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想，是一道综合题．