Question

15．观察下列不等式：
（1）1≤sin²α+cos²α≤1
（2）$\frac{1}{2}$≤sin⁴α+cos⁴α≤1
（3）$\frac{1}{4}$≤sin⁶α+cos⁶α≤1
…
由此规律推测，第n个不等式为：$\frac{1}{{2}^{n-1}}$≤sin²ⁿα+cos²ⁿα≤1．

Answer 1

分析 根据题意，依次分析所给不等式的左中右的变化规律，综合即可得答案．

解答 解：根据题意，由所给的几个不等式：
最左边的项为1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
中间项为角α的正弦与余弦的偶次方的和；
右边为常数1；
则第n个不等式为：$\frac{1}{{2}^{n-1}}$≤sin²ⁿα+cos²ⁿα≤1；
故答案为：：$\frac{1}{{2}^{n-1}}$≤sin²ⁿα+cos²ⁿα≤1．

点评 本题考查归纳推理的应用，关键是发现不等式左右两边变化的规律．