Question

10．设α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanα=$\frac{1}{7}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，则α+2β=（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 利用两角和的正切公式、二倍角公式，求得tan（α+2β）的值，结合α+2β的范围，可得α+2β的值．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanα=$\frac{1}{7}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，∴α∈（0，$\frac{π}{6}$），β∈（0，$\frac{π}{6}$），∴α+2β∈（0，$\frac{π}{2}$）．
又tan2β=$\frac{2tanβ}{1{-tan}^{2}β}$=$\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{3}{4}$，∴tan（α+2β）=$\frac{tanα+tan2β}{1-tanα•tan2β}$=$\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}•\frac{3}{4}}$=1，
∴α+2β=$\frac{π}{4}$，
故选：B．

点评 本题主要考查两角和的正切公式、二倍角公式的应用，属于基础题．