Question

2．如图是函数f（x）=-x²+ax+b的部分图象，f′（x）是f（x）的导函数，则函数g（x）=e^x-f′（x）的零点所在的区间是（　　）

• A． （-1，-$\frac{1}{2}$）
• B． （-$\frac{1}{2}$，0）
• C． （0，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（0）和g（$\frac{1}{2}$）的值的符号，从而确定零点所在的区间．

解答 解：∵二次函数f（x）图象的对称轴 x=$\frac{a}{2}$∈（ $\frac{1}{2}$，1），b＞0，-1+a+b=0
∴1＜a＜2，g（x）=e^x+2x-a在定义域内单调递增，
g（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{\sqrt{e}}$-1-a＜0，
g（0）=1+0-a＜0，
g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$+2-a＞0，
∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（0，$\frac{1}{2}$）；
故选：C．

点评 本题是中档题．考查导数的运算、函数零点的判断以及识图能力，体现了数形结合的思想，考查了学生应用知识分析解决问题的能力．