Question

6．已知定义在R上函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜-2，则不等式f（lnx）＞5-2lnx的解集为（0，e²）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）+2x-5，求函数的导数，判断函数的单调性 即可得到结论．

解答 解：设t=lnx，
则不等式f（lnx）＞5-2lnx等价为f（t）＞5-2t，
设g（x）=f（x）+2x-5，
则g′（x）=f′（x）+2，
∵f（x）的导函数f′（x）＜-2，
∴g′（x）=f′（x）+2＜0，此时函数单调递减，
∵f（2）=1，
∴g（2）=f（2）+4-5=5-5=0，
则当0＜x＜2时，g（x）＞g（2）=0，
即g（x）＞0，则此时g（x）=f（x）+2x-5＞0，
即不等式f（x）＞-2x+5的解为x＜2，
即f（t）＞5-2t的解为t＜2，
由lnx＜2，解得0＜x＜e²，
即不等式f（lnx）＞5-2lnx的解集为（0，e²），
故答案为：（0，e²）．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．