Question

1．点A是圆x²+y²=r²（r＞0）上任意一点，AB⊥x轴，垂足为B，以A为圆心，|AB|为半径的圆交已知圆于C，D两点，连接CD交AB于M点，当点A在圆上运动时，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 设点A的坐标为A（rcosα，rsinα），由以A为圆心、AB为半径的圆的方程及已知圆x²+y²=r²的方程，求得公共弦CD的方程，再与AB的方程联立得到点M的坐标为（2cosα，sinα），消去α，由此能求出点M的轨迹方程．

解答 解：设点A的坐标为A（rcosα，rsinα），则以A为圆心、AB为半径的圆的方程为：
（x-rcosα）²+（y-rsinα）²=r²sin²α．
联立已知圆x²+y²=r²的方程，相减，可得公共弦CD的方程为：
2xcosα+2ysinα=r（1+cos²α）．             （1）
而AB的方程是x=rcosα．          （2）
所以满足（1）、（2）的点M的坐标为（rcosα，$\frac{r}{2}$sinα），消去α，即得
点M的轨迹方程为x²+4y²=r²．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆的相关知识，解题时要注意合理地利用参数进行等价转化．