Question

13．a、b、c∈R，且a+b+c=0，abc＞0，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的值（　　）

• A． 一定是负数
• B． 一定是正数
• C． 可能是0
• D． 正负不能确定

Answer 1

分析 因为a+b+c=0，abc（乘积）是正数，则这三个数中只能有一个正数，另两个为负数．把a+b+c=0变形代入代数式，运用柯西不等式即可判断．

解答 解：∵a+b+c=0，abc＞0，
∴a，b，c中只能有一个正数，另两个为负数，
不妨设a＞0，b＜0，c＜0．
由a+b+c=0得a=-（b+c）代入得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=-$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$，
∵[（-b）+（-c）]（-$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{-c}$）≥4，
∴$\frac{1}{-b}$+$\frac{1}{-c}$≥$\frac{4}{-b-c}$，即$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≤$\frac{4}{b+c}$，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$≤$\frac{4}{b+c}$-$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{b+c}$＜0，
故选：A．

点评 本题主要考查柯西不等式的运用，解题的关键是由条件正确判断a，b，c的符号．