Question

18．已知函数f（x）=lnx-ax+a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，结合函数的单调性，判断函数在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有无零点即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
a＞0时，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
由f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减，
a≤0时，在（0，+∞）内，f′（x）＞0恒成立，
综上，a＞0时，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减，
a≤0时，f（x）在（0，+∞））递增；
（2）a≤0时，由（1）得f（x）在（0，+∞）递增，
∵f（1）=0，∴此时函数在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有1个零点，不符合题意，
0＜$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{e}$即a≥e时，由（1）知f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上递减，
∵f（1）=0，得：a≥e时，函数在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有1个零点，不符合题意，
$\frac{1}{a}$≥e即0＜a≤$\frac{1}{e}$时，f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]递增，
函数在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有1个零点，不符合题意，
$\frac{1}{e}$＜$\frac{1}{a}$＜e即$\frac{1}{e}$＜a＜e时，f（x）在[$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，e]递减，
若函数f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有两个零点，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{a}）＞0}\\{f（e）＜0}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{e-1}$＜a＜e．

点评 本题考查了根据导数求函数的单调性、函数的零点问题，考查分类讨论、转化思想以及运算的能力．