Question

10．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．n∈N₊，猜想这个数列的通项公式，试证明这个猜想．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．n∈N₊，∴a₂=$\frac{2{a}_{1}}{2+{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，同理可得：a₃=$\frac{2}{4}$，a₄=$\frac{2}{5}$，…．猜想a_n=$\frac{2}{n+1}$．由a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．n∈N₊，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，再利用等差数列的通项公式即可证明．

解答 解：a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．n∈N₊，
∴a₂=$\frac{2{a}_{1}}{2+{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，同理可得：a₃=$\frac{2}{4}$，a₄=$\frac{2}{5}$，…．
猜想a_n=$\frac{2}{n+1}$．
证明：∵a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．n∈N₊，两边取倒数可得：
$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，解得a_n=$\frac{2}{n+1}$．

点评 本题考查了数列的递推关系、等差数列的定义通项公式、猜想能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．