Question

已知曲线c上任意一点P到点F（2，0）的距离等于到l：x=-2的距离，设直线l₁：y=2x+m与曲线c交于A、B两点，且|AB|=2

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，
（Ⅰ） 求曲线c的方程．
（Ⅱ） 求直线l₁的方程．

Answer 1

分析：（I）由抛物线的定义可知，曲线c是以F（2，0）为焦点，l：x=-2为准线的抛物线，求出P，可得抛物线方程；
（II）将直线方程代入抛物线方程，结合韦达定理求出弦AB的长，确定m的值，可求真相方程．

解答：解：（Ⅰ）由抛物线的定义可知，曲线c是以F（2，0）为焦点，l：x=-2为准线的抛物线，∴P=4，
因此曲线c的方程是y²=8x                                        
（Ⅱ）将y=2x+m代入y²=8x 得4x²+（4m-8）x+m²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则△=（4m-8）²-16m²＞0⇒4-4m＞0⇒m＜1，
且x₁+x₂=

8-4m

4

=2-m，x₁x₂=

m2

4

，
由|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

5

×

(x1+x2)2-4x1x2

=2

5

×

1-m

=2

15

，
解得m=-2满足m＜1，
所求直线方程是2x-y-2=0．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查抛物线的标准方程，考查学生的运算能力．解答本题的关键是利用韦达定理求|AB|，求得m一定要验证满足条件△＞0．