Question

15．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n²-2S_n=2-a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{3}{{{a_{2n}}{a_{2n+2}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由${a_n}^2-2{S_n}=2-{a_n}$，得${a_{n+1}}^2-2{S_{n+1}}=2-{a_{n+1}}$，两式相减得${a_{n+1}}^2-{a_n}^2-2（{{S_{n+1}}-{S_n}}）={a_n}-{a_{n+1}}$，即${a_{n+1}}^2-{a_n}^2-（{{a_{n+1}}+{a_n}}）=0$，即a_n+1-a_n=1（n∈N^*）即可求数列{a_n}的通项公式；
$（2）{b_n}=\frac{3}{{{a_{2n}}{a_{2n+2}}}}=\frac{3}{{（{2n+1}）（{2n+3}）}}=\frac{3}{2}（{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）$累加即可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由${a_n}^2-2{S_n}=2-{a_n}$，
  得${a_{n+1}}^2-2{S_{n+1}}=2-{a_{n+1}}$
两式相减得${a_{n+1}}^2-{a_n}^2-2（{{S_{n+1}}-{S_n}}）={a_n}-{a_{n+1}}$
即${a_{n+1}}^2-{a_n}^2-（{{a_{n+1}}+{a_n}}）=0$，即（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）-（a_n+1+a_n）=0
因为a_n＞0，解得a_n+1-a_n=1（n∈N^*）
故数列{a_n}为等差数列，且公差d=1----------------（4分）
又${a_1}^2-2{S_1}=2-{a_1}$，解得a₁=2或a₁=-1（舍去）
故a_n=n+1--------------（6分）
$（2）{b_n}=\frac{3}{{{a_{2n}}{a_{2n+2}}}}=\frac{3}{{（{2n+1}）（{2n+3}）}}=\frac{3}{2}（{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）$-------------（8分）
$则{T_n}=\frac{3}{2}[{（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+（{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}）+…+（{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）}]$-------------（10分）
=$\frac{3}{2}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}}）=\frac{n}{2n+3}$--------------（12分）

点评 本题考查了数列的递推式，等差数列的通项，裂项求和，属于中档题．