Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知C=$\frac{2π}{3}$，c=5，a=$\sqrt{5}$bsinA．
（1）求b的值；
（2）求tan（B+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理求出B的正弦函数值，然后求解b即可．
（2）求出B的正切函数值，然后利用两角和与差的正切函数求解即可．

解答 解：（1）因为$a=\sqrt{5}bsinA$，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
所以$sinA=\sqrt{5}sinBsinA$，
所以$sinB=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，…（3分）
又因为$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
所以$b=\frac{csinB}{sinC}=\frac{{5×\frac{{\sqrt{5}}}{5}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{{2\sqrt{15}}}{3}$．  …（7分）
（2）由（1）得$sinB=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$0＜B＜\frac{π}{3}$，
所以$cosB=\sqrt{1-{{sin}^2}B}=\sqrt{1-{{（{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}）}^2}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，…（9分）
所以$tanB=\frac{sinB}{cosB}=\frac{{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}}{{\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}}=\frac{1}{2}$，…（11分）
所以$tan（B+\frac{π}{4}）=\frac{{tanB+tan\frac{π}{4}}}{{1-tanBtan\frac{π}{4}}}=\frac{{\frac{1}{2}+1}}{{1-\frac{1}{2}}}=3$． …（14分）

点评 本题考查正弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力．