Question

17．已知P是圆x²+y²=1上的一动点，AB是圆（x-5）²+（y-12）²=4的一条动弦（A，B是直径的两个端点），则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范围是[140，192]．

Answer 1

分析 设出P、A、B坐标，求出两个向量，然后计算数量积，利用两角和与差的三角函数化简求解表达式的最值即可．

解答 解：设P（cosα，sinα），A（5+2cosβ，12+2sinβ），则B（5-2cosβ，12-2sinβ），
则$\overrightarrow{PA}$=（5+2cosβ-cosα，12+2sinβ-sinα），$\overrightarrow{PB}$=（5-2cosβ-cosα，12-2sinβ-sinα），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（5+2cosβ-cosα）（5-2cosβ-cosα）+（12+2sinβ-sinα）（12-2sinβ-sinα）
=166-10cosα-24sinα=166-26sin（α+φ），
∵-1≤sin（α+φ）≤1，
∴140≤$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$≤192．
故答案为：[140，192]．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，参数方程的应用，三角恒等变换，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．