Question

12．已知${（{\sqrt{2}x+\root{3}{3}y+z}）^6}$的展开式中，系数为有理数的项的个数为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 根据乘方的定义，分类讨论求得系数为有理数的项的个数．

解答 解：∵${（{\sqrt{2}x+\root{3}{3}y+z}）^6}$的表示6个因式（$\sqrt{2}$x+$\root{3}{3}$y+z）的乘积，
要使展开式的系数为有理项，
则有以下几种情况：①6个因式都取$\sqrt{2}$x；②6个因式都取$\root{3}{3}$y；③6个因式都取z；
④有4个因式取$\sqrt{2}$x、另外2个因式取z；⑤有3个因式取$\root{3}{3}$y、另外3个因式取z；
⑥2个因式取$\sqrt{2}$x，其余的4个因式取z；⑦2个因式取$\sqrt{2}$x、另外3个因式取$\root{3}{3}$y，一个因式取z，
故系数为有理数的项的个数为7，
故选：D．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于基础题．