Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，若$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow{d}$上的投影是（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{10}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• C． -2
• D． 2

Answer 1

分析 依题意，可求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=-2，及|$\overrightarrow{d}$|=1，于是可求$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow{d}$上的投影$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}}{|\overrightarrow{d}|}$=$\frac{-2}{1}$=-2．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos$\frac{π}{6}$=1×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
又$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=1-3=-2，
又${\overrightarrow{d}}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=1-2×1×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+3=1，
∴|$\overrightarrow{d}$|=1，
∴$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow{d}$上的投影为$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}}{|\overrightarrow{d}|}$=$\frac{-2}{1}$=-2，
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积的运算，熟练应用$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow{d}$上的投影为$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}}{|\overrightarrow{d}|}$进行运算是关键，属于中档题．