Question

2．已知关于x的方程：${log_2}（x+3）-{log_{2^2}}{x^2}=a$在区间（3，4）内有解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[{log_2}\frac{7}{4}，+∞）$
• B． $（{log_2}\frac{7}{4}，+∞）$
• C． $（{log_2}\frac{7}{4}，1）$
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 关于x的方程log₂（x+3）-log_2²x²=a在区间（3，4）内有解，即方程log₂$\frac{x+3}{x}$=log₂（1+$\frac{3}{x}$）=a在区间（3，4）内有解，令f（x）=log₂$\frac{x+3}{x}$，分析f（x）在区间（3，4）上的值域，可得答案．

解答 解：关于x的方程：${log_2}（x+3）-{log_{2^2}}{x^2}=a$在区间（3，4）内有解，
即方程log₂（x+3）-log₂x=a在区间（3，4）内有解，
即方程log₂$\frac{x+3}{x}$=log₂（1+$\frac{3}{x}$）=a在区间（3，4）内有解，
令f（x）=log₂$\frac{x+3}{x}$=log₂（1+$\frac{3}{x}$），则f（x）在区间（3，4）上为减函数，
故1+$\frac{3}{x}$∈（$\frac{7}{4}$，2），
故a∈$（{log_2}\frac{7}{4}，1）$．
故选：C．

点评 本题考查的知识点是函数零点与方程的根，转化思想，难度中档．