Question

12．已知圆C：x²+y²-2$\sqrt{3}$x+2y-5=0，则圆中经过原点的最短的弦所在直线的方程为y=$\sqrt{3}x$．

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准方程，找出圆心C的坐标，再由O的坐标，求出直径OC所在直线方程的斜率，根据垂径定理及两直线垂直时斜率的乘积为-1，得到与直径OC垂直的弦所在直线的斜率，根据求出的斜率及O的坐标写出所求直线的方程即可．

解答 解：把圆的方程化为标准方程得：（x-$\sqrt{3}$）²+（y+1）²=9，
得到圆心C坐标（$\sqrt{3}$，-1），
∴直径OC所在直线的斜率为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴与直径OM垂直的弦斜率为$\sqrt{3}$，即为过O最短弦所在的直线方程的斜率，
则所求直线的方程为y=$\sqrt{3}$x．
故答案为：$y=\sqrt{3}x$．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有缘的标准方程，两直线垂直时斜率满足的关系，其中找出与直径垂直的弦所在的直线为所求直线是解本题的关键．