Question

20．已知定义在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上的函数f（x）=2asin2x+b的最大值为1，最小值为-5，则实数a+b的值为-$\frac{1}{2}$或-$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 设g（x）=2asin2x，则g（x）是x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的奇函数，
讨论a＞0和a＜0时，求出g（x）的最大、最小值，得出f（x）的最大、最小值，
求出a、b的值，再计算a+b．

解答 解：设g（x）=2asin2x，x∈$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$，
则g（x）是x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的奇函数，
当a＞0时，g（x）的最大值是g（$\frac{π}{4}$）=2a•sin（2×$\frac{π}{4}$）=2a，
最小值是g（-$\frac{π}{4}$）=2a•sin（-$\frac{π}{2}$）=-2a，
∴函数f（x）=2asin2x+b的最大值为2a+b=1，
最小值为-2a+b=-5，
解得a=$\frac{3}{2}$，b=-2，
∴a+b=-$\frac{1}{2}$；
当a＜0时，g（x）的最小值是g（$\frac{π}{4}$）=2a•sin（2×$\frac{π}{4}$）=2a，
最大值是g（-$\frac{π}{4}$）=2a•sin（-$\frac{π}{2}$）=-2a，
∴函数f（x）=2asin2x+b的最大值为-2a+b=1，
最小值为2a+b=-5，
解得a=-$\frac{3}{2}$，b=-2，
∴a+b=-$\frac{7}{2}$；
综上，a+b的值为-$\frac{1}{2}$或-$\frac{7}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$或-$\frac{7}{2}$

点评 本题考查了正弦函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了函数的最值与解方程组的应用问题，是中档题．