Question

11．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=3a_n+2n-1，则数列{a_n}的前100项和S₁₀₀为（　　）

• A． 3⁹⁹-5051
• B． 3¹⁰⁰-5051
• C． 3¹⁰¹-5051
• D． 3¹⁰²-5051

Answer 1

分析 由a_n+1=3a_n+2n-1得a_n+1+（n+1）=3（a_n+n），可得数列{a_n+n}是以a₁+1=2为首项，公比为3的等比数列⇒a_n=2•3^n-1-n，则s_n=2（3⁰+3¹+3²+…+3⁹⁹）-（1+2+…+100）即可．

解答 解：由a_n+1=3a_n+2n-1得a_n+1+（n+1）=3（a_n+n），
∴数列{a_n+n}是以a₁+1=2为首项，公比为3的等比数列．
∴${a}_{n}+n=2•{3}^{n-1}$，⇒a_n=2•3^n-1-n，
则S_n=2（3⁰+3¹+3²+…+3⁹⁹）-（1+2+…+100）
=2×$\frac{1×（1-{3}^{100}）}{1-3}-\frac{100（1+100）}{2}$=3¹⁰⁰-5051，
故选：B．

点评 本题考查了数列的递推式，等比数列的求和，属于中档题．