Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若$（{\sqrt{3}b-c}）cosA=acosC$，则$tan（{A-\frac{π}{4}}）$=$3-2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得：$\sqrt{3}$sinBcosA=sinB，结合sinB≠0，可求cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，tanA，进而利用两角差的正切函数公式即可计算得解．

解答 解：∵$（{\sqrt{3}b-c}）cosA=acosC$，
∴由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，
∴$\sqrt{3}$sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∵B为三角形内角，sinB≠0，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\sqrt{2}$，
∴$tan（{A-\frac{π}{4}}）$=$\frac{tanA-1}{1+tanA}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$=$3-2\sqrt{2}$．
故答案为：$3-2\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角差的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．