Question

18．已知函数f（x）=2^x-2^-x，数列{a_n}满足f（1og₂a_n）=-2n．
（1）求a_n．
（2）判断数列{a_n}的单调性并说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过f（x）=2^x-2^-x、f（1og₂a_n）=-2n直接代入计算可知a_n-$\frac{1}{{a}_{n}}$=-2n，两边平方、整理可知${{a}_{n}}^{2}$+2na_n-1=0，解关于a_n的一元二次方程即得结论；
（2）通过a_n=$\sqrt{{n}^{2}+1}$-n作商、计算可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜1，进而可得结论．

解答 （1）解：∵f（x）=2^x-2^-x，f（1og₂a_n）=-2n，
∴${2}^{lo{g}_{2}{a}_{n}}$-${2}^{-lo{g}_{2}{a}_{n}}$=-2n，即a_n-$\frac{1}{{a}_{n}}$=-2n，
∴${{a}_{n}}^{2}$+2na_n-1=0，
解得：a_n=-n±$\sqrt{{n}^{2}+1}$，
∵a_n＞0，
∴a_n=$\sqrt{{n}^{2}+1}$-n；
（2）结论：数列{a_n}是递减数列．
理由如下：
∵a_n=$\sqrt{{n}^{2}+1}$-n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{\sqrt{（n+1）^{2}+1}-（n+1）}{\sqrt{{n}^{2}+1}-n}$
=$\frac{\sqrt{{n}^{2}+1}+n}{\sqrt{（n+1）^{2}+1}+（n+1）}$
＜1，
又∵a_n＞0，
∴数列{a_n}是递减数列．

点评 本题考查数列的通项及数列的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．