Question

已知F₁，F₂分别为椭圆

x2

3

+

y2

2

=1的左、右焦点，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁，垂足为D，线段DF₂的垂直平分线交l₂于点M．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F₁作直线交曲线C于两个不同的点P和Q，设

F1P

=λ

F1Q

，若λ∈[2，3]，求

F2P

•

F2Q

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用中垂线的性质列方程，或者利用抛物线的定义写方程．
（2）利用定比分点坐标公式及向量坐标运算公式，并利用函数的单调性，求得

F2P•

F2Q

的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），则D（-1，y），由中垂线的性质知|MD|=|MF₂|
∴|x+1|=

(x-1)2+y2

化简得C的方程为y²=4x（3分）
（另：由|MD|=|MF₂|知曲线C是以x轴为对称轴，以F₂为焦点，以l₁为准线的抛物线
所以，

p

2

=1，则动点M的轨迹C的方程为y²=4x）
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

F1P=

λ•F1Q

知

x1+1=λ(x2+1)  y1=λ y2

①．
又由P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在曲线C上知

y12=4x1 y22=4x2

 ②，
由①②解得

x1=λ x2= 1 λ

，所以有x₁x₂=1，y₁y₂=4．（8分）

F2P•

F2Q

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-x₁-x₂+1+y₁y₂=6-(λ+

1

λ

)（10分）
设u=λ+

1

λ

，有u′=(λ+

1

λ

)′=1-

1

λ2

＞0  ?  u=λ+

1

λ

在区间[2，3]上是增函数，
得

5

2

≤λ+

1

λ

≤

10

3

，进而有

8

3

≤6-(λ+

1

λ

)≤

7

2

，
所以，

F2P•

F2Q

的取值范围是[

8

3

，

7

2

]．（13分）

点评：本题主要考查轨迹方程的求法，两个向量坐标形式的运算，注意换元的思想，换元过程中特别注意变量范围的改变，属于难题．