Question

（2012•德州一模）已知函数f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+

1

2

(x∈R)
（I）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，

5π

12

]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，又f(

A

2

+

π

3

)=

4

5

，b=2，面积S_△ABC=3，求边长a的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简 函数的解析式为sin（2x-

π

6

），由此求得函数的最小正周期，再根据角的范围求出sin（2x-

π

6

） 值域．
（Ⅱ）在△ABC中，由 f(

A

2

+

π

3

)=

4

5

，b=2，可得 cosA=

4

5

，sinA=

3

5

．再由 面积S_△ABC=3 求出c=5，再用余弦定理求得a的值．

解答：解：（I）∵函数 f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+

1

2

=

3

2

sin2x - 

1+cos2x

2

+

1

2

=sin（2x-

π

6

），
故函数的最小正周期等于π．
∵x∈[0，

5π

12

]，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

2π

3

，故所求函数的值域为[-

1

2

，1]．
（Ⅱ）在△ABC中，∵f(

A

2

+

π

3

)=

4

5

，b=2，
∴cosA=

4

5

，sinA=

3

5

．
再由面积S_△ABC=3=

1

2

bcsinA，解得 c=5．
再由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA=13，
解得a=

13

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，余弦定理的应用以及解三角形，属于中档题．