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    【题目】为参与某次救援，潜水员需潜至水下30米处进行作业.在下潜与返回水面的过程中保持匀速，速度均为米/分钟（，为常数），下潜过程中每分钟耗氧量与速度的平方成正比，当速度为1米/分钟时，每分钟耗氧量为0.2升；在水下30米作业时，每分钟耗氧量为0.4升：返回水面的过程中每分钟耗氧量为0.2升假定氧气瓶中氧气为20升，潜水员下潜时开始使用氧气瓶中的氧气，返回到水面时氧气瓶中氧气恰好用尽.

    （1）试求潜水员在水下30米作业的时间（单位：分钟）与速度的函数解析式；

    （2）试求潜水员在水下30米能作业的最长时间.

    【答案】（1）；（2）分类讨论，详见解析.

    【解析】

    （1）下潜过程中每分钟耗氧量与速度的平方成正比，则下潜每分钟耗氧量为，上升和下潜的时间为，即可求出，整理即可，

    （2）根据（1）的函数解析式，需要分类讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可求出.

    解：（1）下潜过程中每分钟耗氧量与速度的平方成正比，则下潜每分钟耗氧量为，上升和下潜的时间为，则，

    整理可得，（为常数）

    （2）由（1）可知，当时，，当且仅当时取等号，

    当时，易知函数在上为减函数，

    ∴，

    故当潜水员在水下30米能作业的最长时间为20分钟，

    当时，潜水员在水下30米能作业的最长时间为分钟

    练习册系列答案
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    A. y与x具有正的线性相关关系

    B. 回归直线过样本点的中心（，）

    C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

    D. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg

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    【题目】已知函数（其中是自然对数的底数）

    （1）若在R上单调递增，求正数a的取值范围；

    （2）若f（x）在处导数相等，证明：；

    （3）当时，证明：对于任意，若，则直线与曲线有唯一公共点（注：当时，直线与曲线的交点在y轴两侧）.

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    【题目】小刘同学大学毕业后自主择业，回到农村老家发展蜜桔收购，然后卖出去，帮助村民致富.小刘打算利用“互联网+”的模式进行销售.为了更好地销售，假设该村每颗蜜柚树结果50个，现随机选了两棵树的蜜柚摘下来进行测重，其质量分布在区间内（单位：千克）的个数：，10；，10；，15；，40；，20；，5.

    （1）作出其频率分布直方图并求其众数；

    （2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村蜜袖树上大约还有100颗树的蜜柚待出售，小刘提出两种收购方案：

    A.所有蜜柚均以16元/千克收购；

    B.低于2.25千克的蜜柚以22元/个收购，高于或等于2.25千克的以30元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E为AB的中点，底面四边形ABCD满足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3．

    （Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAC；

    （Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；

    （Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．

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    【题目】已知椭圆的离心率为，右焦点为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）如图，过定点的直线交椭圆于两点，连接并延长交于，求证：.

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    【题目】计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.

    （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？

    （2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.

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    若由资料知，对呈线性相关关系．

    （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

    （2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（精确到两位小数）；

    （3）计算第2年和第6年的残差.

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