Question

11．已知点P（x，y）在圆x²+y²=1上，求$\frac{y}{x+2}$及y-2x的取值范围．

Answer 1

分析 首先，可以设$\frac{y}{x+2}=k$，得到kx-y+2k=0，然后，利用圆心到直线的距离，确定其取值范围；在求解y-2x的取值范围时，可以利用圆的参数方程比较简单．

解答 解：设$\frac{y}{x+2}=k$，
∴y=kx+2k，
∴kx-y+2k=0，
圆心到直线的距离为d=$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{y}{x+2}$的取值范围[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
再设圆的参数方程为：
$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，
∴y-2x=sinθ-2cosθ
=$\sqrt{5}$sin（θ-φ），
∴y-2x的取值范围[-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]．

点评 本题重点考查了圆的参数方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．