Question

19．方程sin（4x+$\frac{π}{3}$）-4sin（2x-$\frac{5π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）+2=0的解集为{α|α=$\frac{7π}{6}$+2kπ或$\frac{11π}{6}$+2kπ（k∈Z）}．

Answer 1

分析 设α=2x+$\frac{π}{6}$，由三角函数中的恒等变换应用化简可得sinα=-$\frac{1}{2}$，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：设α=2x+$\frac{π}{6}$
∵sin（4x+$\frac{π}{3}$）-4sin（2x-$\frac{5π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）+2=0
⇒sin2（2x+$\frac{π}{6}$）-4sin（2x+$\frac{π}{6}$-π）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）+2=0
⇒sin2α-4sin（α-π）+cosα+2=0
⇒sin2α+4sinα+cosα+2=0
⇒2sinαcosα+4sinα+cosα+2=0
⇒2sinα（cosα+2）+cosα+2=0
⇒（2sinα+1）（cosα+2）=0
⇒2sinα+1=0
⇒2sinα=-1
⇒sinα=-$\frac{1}{2}$
⇒α=$\frac{7π}{6}$+2kπ或$\frac{11π}{6}$+2kπ（k∈Z）
∴解集为：{α|α=$\frac{7π}{6}$+2kπ或$\frac{11π}{6}$+2kπ（k∈Z）}
故答案为：{α|α=$\frac{7π}{6}$+2kπ或$\frac{11π}{6}$+2kπ（k∈Z）}

点评 本题主要考查了三角函数恒等变化的应用，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基本知识的考查．