Question

4．已知数列{a_n}的通项a_n=（2n-1）•3ⁿ，用错位相减法求和．

Answer 1

分析 由已知得${S}_{n}=1×3+3×{3}^{2}+5×{3}^{3}+…+（2n-1）×{3}^{n}$，从而3S_n=1×3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-1）×3ⁿ⁺¹，两式错闪位相减能求出结果．

解答 解：∵a_n=（2n-1）•3ⁿ，
∴${S}_{n}=1×3+3×{3}^{2}+5×{3}^{3}+…+（2n-1）×{3}^{n}$，①
3S_n=1×3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-1）×3ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-2S_n=3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
=3+2×$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
=3-（3²-3ⁿ⁺¹）-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
=-6-（2n-2）•3ⁿ⁺¹
∴S_n=3+（n-1）×3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．