Question

设命题p：函数f（x）=lg（ax²-4x+a）的定义域为R；命题q：不等式2x²+x＞2+ax，对?x∈（-∞，-1）上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：分别求出命题p，q成立的等价条件，利用“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，确定实数k的取值范围．

解答：解：①若函数f（x）=lg（ax²-4x+a）的定义域为R，
则ax²-4x+a＞0恒成立．
若a=0，则不等式为-4x＞0，即x＜0，不满足条件．
若a≠0，则

a＞0 △=16-4a2＜0

，即

a＞0 a2＞4

，
解得a＞2，即p：a＞2．
②要使不等式2x²+x＞2+ax，对?x∈（-∞，-1）上恒成立，
则a＞2x-

2

x

+1，对?x∈（-∞，-1）上恒成立，
∵y=2x-

2

x

+1在 （-∞，-1]上是增函数，
∴y_min=1，x=-1，
故a≥1，即q：a≥1．
若“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
则p，q一真一假．
若p真q假，则

a＞2 a＜1

，此时不成立．
若p假q真，则

a≤2 a≥1

，解得1≤a≤2．
即实数a的取值范围是1≤a≤2．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．