Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，E、F分别为棱BC、AD的中点，PD⊥底面ABCD，且直线PA与直线BC所成的角为45°．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PFB；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积．
（Ⅲ）在线段PB上是否存在点Q，使得FQ⊥面PBC？请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，
所以，
所以，BEDF为平行四边形，得ED∥FB，
又因为FB?平面PFB，
且ED?平面PFB，
所以DE∥平面PFB．
（Ⅱ）因为BC∥AD，所以∠PAD为直线PA与BC所成的角，
所以∠PAD=45°，
所以AD=PD=2．
因为PD是四棱锥P-ABCD的高，
所以，所求体积为．
（Ⅲ）当Q是PB中点时，有QF⊥面PBC．
取PC中点K，连DK，FK，则DK⊥面PBC．
∴FK∥AD，FK=AD，
∴QF∥DK，
∴QF⊥面PBC．
分析：（Ⅰ）因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，所以，所以，BEDF为平行四边形，得ED∥FB，由此能够证明DE∥平面PFB．
（Ⅱ）因为BC∥AD，所以∠PAD为直线PA与BC所成的角，所以∠PAD=45°，所以AD=PD=2．由此能够求出四棱锥P-ABCD的体积．
（Ⅲ）当Q是PB中点时，有QF⊥面PBC．取PC中点K，连DK，FK，则DK⊥面PBC．FK∥AD，FK=AD，由此能够证明QF⊥面PBC．
点评：本题考查DE∥平面PFB的证明，求四棱锥P-ABCD的体积，探索在线段PB上是否存在点Q，使得FQ⊥面PBC．考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．