Question

如图，已知A（1，0），B（0，2），C₁为AB的中点，O为坐标原点，过C₁作C₁D₁⊥OA于D₁点，连接BD₁交OC₁于C₂点，过C₂作C₂D₂⊥OA于D₂点，连接BD₂交OC₁于C₃点，过C₃作C₃D₃⊥OA于D₃点，如此继续，依次得到D₁，D₂，D₃…D_n（n∈N^*），记D_n的坐标为（a_n，0）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求a_n与a_n+1的关系式，并求出a_n的表达式；
（3）设△OC_nD_n的面积为b_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知直线BD₁的方程：，直线OC₁的方程：y=2x，由此可解得C₂的横坐标为．
（2）设D_n（a_n，0），由题意知直线BD_n的方程为，联立OC₁：y=2x，可解得，由引可知．
（3）由题意知，由此可知S_n=b₁+b₂+b₃+b_n=＜=．
解答：解（1）∵C₁为AB中点，∴C₁（，1），D₁（，0），，
直线BD₁的方程：，直线OC₁的方程：y=2x，
可解得C₂的横坐标为（2分）

（2）设D_n（a_n，0），直线BD_n的方程为，联立OC₁：y=2x，
可解得，∴（5分）
∴数列是首项为2公差为1的等差数列，∴，∴（8分）

（3）∵△OC_nD_n～△OC₁D₁
∴，
∴（11分）
S_n=b₁+b₂+b₃+b_n=+
=
=（14分）
点评：本题综合考查数列的性质的应用，解题时要认真分析，仔细求解．