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精英家教网如图,已知A(1,0),B(0,2),C1为AB的中点,O为坐标原点,过C1作C1D1⊥OA于D1点,连接BD1交OC1于C2点,过C2作C2D2⊥OA于D2点,连接BD2交OC1于C3点,过C3作C3D3⊥OA于D3点,如此继续,依次得到D1,D2,D3…Dn(n∈N*),记Dn的坐标为(an,0).
(1)求a1,a2的值;
(2)求an与an+1的关系式,并求出an的表达式;
(3)设△OCnDn的面积为bn,数列{bn}的前n项和为Sn,证明:Sn
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分析:(1)由题意知直线BD1的方程:
x
1
2
+
y
2
=1
,直线OC1的方程:y=2x,由此可解得C2的横坐标为a2=
1
3

(2)设Dn(an,0),由题意知直线BDn的方程为
x
an
+
y
2
=1
,联立OC1:y=2x,可解得x=an+1=
an
an+1
,由引可知an=
1
n+1

(3)由题意知
S△OCnDn
S△OC1D1
=
bn
b1
=(
ODn
OD1
)2=(
an
a1
)2=4an2
,由此可知Sn=b1+b2+b3+bn=
1
22
+
1
32
+
1
42
+
+
1
(n+1)2
1
4
+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+
(
1
n
-
1
n+1
)
=
3
4
-
1
n+1
3
4
解答:解(1)∵C1为AB中点,∴C1
1
2
,1),D1
1
2
,0),a1=
1
2

直线BD1的方程:
x
1
2
+
y
2
=1
,直线OC1的方程:y=2x,
可解得C2的横坐标为a2=
1
3
(2分)

(2)设Dn(an,0),直线BDn的方程为
x
an
+
y
2
=1
,联立OC1:y=2x,
可解得x=an+1=
an
an+1
,∴
1
an+1
=
1
an
+1
(5分)
∴数列{
1
an
}
是首项为2公差为1的等差数列,∴
1
an
=n+1
,∴an=
1
n+1
(8分)

(3)b1=S△OC1D1=
1
4
∵△OCnDn~△OC1D1
S△OCnDn
S△OC1D1
=
bn
b1
=(
ODn
OD1
)2=(
an
a1
)2=4an2

bn=an2=
1
(n+1)2
(11分)
Sn=b1+b2+b3+bn=
1
22
+
1
32
+
1
42
+
+
1
(n+1)2
1
22
+
1
2×3
+
1
3×4
+
+
1
n(n+1)

=
1
4
+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+
(
1
n
-
1
n+1
)

=
3
4
-
1
n+1
3
4
(14分)
点评:本题综合考查数列的性质的应用,解题时要认真分析,仔细求解.
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AE
EC
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2
3
3
4
]
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