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如图，已知A（1，0），B（0，2），C₁为AB的中点，O为坐标原点，过C₁作C₁D₁⊥OA于D₁点，连接BD₁交OC₁于C₂点，过C₂作C₂D₂⊥OA于D₂点，连接BD₂交OC₁于C₃点，过C₃作C₃D₃⊥OA于D₃点，如此继续，依次得到D₁，D₂，D₃…D_n（n∈N^*），记D_n的坐标为（a_n，0）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求a_n与a_n+1的关系式，并求出a_n的表达式；
（3）设△OC_nD_n的面积为b_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明： $数学公式$ ．

解（1）∵C₁为AB中点，∴C₁（ $\text{[math]}$ ，1），D₁（ $\text{[math]}$ ，0）， $\text{[math]}$ ，
直线BD₁的方程： $\text{[math]}$ ，直线OC₁的方程：y=2x，
可解得C₂的横坐标为 $\text{[math]}$ （2分）

（2）设D_n（a_n，0），直线BD_n的方程为 $\text{[math]}$ ，联立OC₁：y=2x，
可解得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ （5分）
∴数列 $\text{[math]}$ 是首项为2公差为1的等差数列，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ （8分）

（3） $\text{[math]}$ ∵△OC_nD_n～△OC₁D₁∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （11分）
S_n=b₁+b₂+b₃+b_n= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （14分）
分析：（1）由题意知直线BD₁的方程： $\text{[math]}$ ，直线OC₁的方程：y=2x，由此可解得C₂的横坐标为 $\text{[math]}$ ．
（2）设D_n（a_n，0），由题意知直线BD_n的方程为 $\text{[math]}$ ，联立OC₁：y=2x，可解得 $\text{[math]}$ ，由引可知 $\text{[math]}$ ．
（3）由题意知 $\text{[math]}$ ，由此可知S_n=b₁+b₂+b₃+b_n= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
点评：本题综合考查数列的性质的应用，解题时要认真分析，仔细求解．

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（1）求a₁，a₂的值；
（2）求a_n与a_n+1的关系式，并求出a_n的表达式；
（3）设△OC_nD_n的面积为b_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：Sn＜

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