Question

【题目】已知函数f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为﹣3，求a，b的值；
（2）若曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R），得

f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）．

由题意得 ，

解得：b=0，a=﹣3或1

（2）解：∵曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，

∴关于x的方程f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）=0有两个不相等的实数根，

∴△=4（1﹣a）2+12a（a+2）＞0，即4a2+4a+1＞0，

∴a≠﹣ ．

∴a的取值范围是（﹣∞，﹣ ）∪（﹣ ，+∞）

【解析】求出原函数的导函数．（1）由函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为﹣3得到方程组 ，解方程组求得a，b的值；（2）把曲线
y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线转化为函数f（x）有两个极值点，进一步转化为关于x的方程f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）=0有两个不相等的实数根，然后尤其判别式大于0求得a的范围．