Question

已知f(x)=ax-

1

x

，g（x）=lnx，（x＞0，a∈R是常数）．
（1）求曲线y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线l．
（2）是否存在常数a，使l也是曲线y=f（x）的一条切线．若存在，求a的值；若不存在，简要说明理由．
（3）设F（x）=f（x）-g（x），讨论函数F（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）把x=1代入到g（x）解析式中求出g（1）的值，得到切点的坐标，然后求出g（x）的导函数，把x=1代入导函数求出对应导函数的函数即为切线的斜率，根据切点坐标和求出的斜率写出切线方程即可；
（2）根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，因为直线l也为曲线y=f（x）的一条切线，把x=x₀代入到导函数中求出的函数值为直线l的斜率即为1，得到一个关系式，把切点的横坐标代入直线l的方程求出纵坐标，再把切点的横坐标代入到f（x）求出纵坐标，两者相等得到另一个关系式，把两个关系式联立即可求出切点的横坐标和a的值，所以存在常数a，使l也是曲线f（x）的切线；
（3）把f（x）和g（x）代入到F（x）=f（x）-g（x）中，求出F（x）的导函数，利用a的范围a大于等于

1

4

，a=0，a大于0小于

1

4

，a小于0，四种情况讨论导函数的正负即可得到函数F（x）的增减区间．

解答：解：（1）g（1）=0，所以P的坐标为（1，0），
g′(x)=

1

x

，则切线的斜率k=g′（1）=1，
所以直线l的方程为y-0=1（x-1），化简得y=x-1；
（2）由f(x)=ax-

1

x

，得f′（x）=a+

1

x2

，
设y=f（x）在x=x₀处的切线为l，
则有

ax0- 1 x0 =x0-1 a+ 1 x02 =1

，解得

x0=2 a= 3 4

，
即当a=

3

4

时，l是曲线y=f（x）在点Q（2，1）的切线；
（3）F′(x)=a+

1

x2

-

1

x

=a+(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

．
当a≥

1

4

，a-

1

4

≥0时，F′（x）≥0，F（x）在（0，+∞）单调递增；
当a=0时，F′(x)=

1

x2

-

1

x

=

1-x

x2

，F（x）在（0，1]单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当0＜a＜

1

4

时，解F′（x）=0得x1=

1- 1-4a

2a

，x2=

1+ 1-4a

2a

，
F（x）在（0，x₁]和（x₂，+∞）单调递增，在（x₁，x₂]单调递减；
当a＜0时，解F′（x）=0得x1=

1- 1-4a

2a

＞0，x2=

1+ 1-4a

2a

＜0（x₂舍去），
F（x）在（0，x₁]单调递增，在（x₁，+∞）单调递减．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的增减性，是一道综合题．