Question

已知f(x)=A

x

+B

1-x

(A＞0，B＞0)．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的最大值和最小值；
（3）若g(x)=

mx-1

+

1-nx

(m＞n＞0)，如何由（2）的结论求g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据要使偶次根式有意义，只需根式里大于等于零，建立不等关系，解之即可；
（2）利用三角换元，转化成f(x)=

A2+B2

cos(β-α)，然后研究cos（β-α）在[0，1]上的单调性，求出最值即可；
（3）设x=(

1

n

-

1

m

)t+

1

m

，x∈[

1

m

，

1

n

]，∴t∈[0，1]，将g(x)=

mx-1

+

1-nx

(m＞n＞0)转化成g(x)=k(t)=

m( 1 n - 1 m )t

+

n( 1 n - 1 m )(1-t)

，利用上一问结论即可求得最值．

解答：解：（1）f（x）的定义域为[0，1]．
（2）f(x)=

A2+B2

(

A

A2+B2

x

+

B

A2+B2

1-x

)，
设cosα=

A

A2+B2

，cosβ=

x

，(0＜α，β＜

π

2

)，∴

B

A2+B2

=sinα，

1-x

=sinβ，
则f(x)=

A2+B2

cos(β-α)，
当α=β时，x=

A2

A2+B2

∈[0，1]，此时f（x）最大值为

A2+B2

，
又cos（β-α）在[0，

A2

A2+B2

]递增，在[

A2

A2+B2

，1]递减，
∴f（x）的最小值是f（0）与f（1）的较小者，即A与B的较小者．
（3）设x=(

1

n

-

1

m

)t+

1

m

，∴x∈[

1

m

，

1

n

]，∴t∈[0，1]，
则g(x)=k(t)=

m( 1 n - 1 m )t

+

n( 1 n - 1 m )(1-t)

，
由（2）知g（x）的最大值为

m( 1 n - 1 m )+n( 1 n - 1 m )

=

m n - n m

，
最小值为

m( 1 n - 1 m )

和

n( 1 n - 1 m )

的较小者，即

1- n m

．

点评：本题主要考查了函数的定义域及其求法，以及函数的最值及其几何意义，属于基础题．