Question

已知f(x)=

ax+1

x-1

，x∈（1，+∞），f（2）=3
（1）求a；
（2）判断并证明函数单调性．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数的解析式，将x=2，f（2）=3代入构造a的方程，解方程可得答案．
（2）任取1＜x₁＜x₂，我们构造出f（x₂）-f（x₁）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x₂）-f（x₁）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．

解答：解：（1）∵f(x)=

ax+1

x-1

，x∈（1，+∞），f（2）=3
∴3=

2a+1

2-1

，
解得a=1．
（2）∴f(x)=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

．
函数f(x)=1+

2

x-1

在区间（1，+∞）是单调减函数．理由如下：
设1＜x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=

2

x2-1

-

2

x1-1

=

2(x1-x2)

(x1-1)(x2-1)

因为1＜x₁＜x₂，，所以x₁-x₂＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
所以函数f(x)=1+

2

x-1

在区间（1，+∞）是单调减函数．

点评：本题主要考查的知识点是函数单调性的判断与证明，其中作差法（定义法）证明函数的单调性是我们中学阶段证明函数单调性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步骤．