Question

已知矩形BCC₁B₁所在平面与平面ABB₁N垂直，AN∥BB₁，AB⊥BB₁，且BB₁=8，AN=AB=BC=4，
（1）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（2）设θ为直线C₁N与平面CNB₁所成的角，求sinθ；
（3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB₁，求

BP

PC

的值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）BA，BC，BB₁两两垂直． 以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB₁所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，证出

BN

•

NB1

=0，

BN

•

B1C1

=0后即可证明BN⊥平面C₁B₁N；
（2）求出平面NCB₁的一个法向量

n

，利用

C1N

与此法向量的夹角求出直线C₁N与平面CNB₁所成的角
（3）设P（0，0，a）为BC上一点，由MP∥平面CNB₁，得知

MP

•

n

=0，利用向量数量积为0求出a的值，并求出

BP

PC

的值．

解答： （1）证明：∵BA，BC，BB₁两两垂直．                              …（2分）
以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB₁所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）
∵

BN

•

NB1

=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0

BN

•

B1C1

=（4，4，0）•（0，0，4）=0
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁且NB₁与B₁C₁相交于B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N；   …（4分）
（2）解：设

n

=（x，y，z）为平面NCB₁的一个法向量，
则

x+y-z=0 -x+y=0

，取

n

=（1，1，2），
∵

C1N

=（4，-4，-4），
∴sinθ=

2

3

；…（8分）
（3）解：∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则

MP

=（-2，0，a），
∵MP∥平面CNB₁，
∴

MP

•

n

=0
∴（-2，0，a）•（1，1，2）=0，
∴a=1．
又PM?平面CNB₁，∴MP∥平面CNB₁，
∴当PB=1时，MP∥平面CNB₁
∴

BP

PC

=

1

3

…（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系及判断，线面角求解，利用空间向量的方法，能够降低思维难度，但要注意有关的运算要准确．