Question

已知函数f（x）=

x+b

1+x2

为奇函数．
（1）求b的值；
（2）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
（3）解关于x的不等式f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（0）=0，求得b的值．
（2）由（1）可得f（x）=

x

1+x2

，再利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．
（3）由题意可得f（1+2x²）＞f（x² -2x+4），再根据函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，可得1+2x² ＜x² -2x+4，且x＞1，由此求得x的范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

x+b

1+x2

为定义在R上的奇函数，∴f（0）=b=0．
（2）由（1）可得f（x）=

x

1+x2

，下面证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．
证明：设x₂＞x₁＞0，则有f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1+x1•x22-x2-x2•x12

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)(1-x1•x2)

(1+x12)(1+x22)

．
再根据x₂＞x₁＞0，可得1+x12＞0，1+x22＞0，x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＜0，∴

(x1-x2)(1-x1•x2)

(1+x12)(1+x22)

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．
（3）由不等式f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0，可得f（1+2x²）＞-f（-x²+2x-4）=f（x² -2x+4），
再根据函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，可得1+2x² ＜x² -2x+4，且x＞1求得1＜x＜3，
故不等式的解集为（1，3）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．