Question

已知数列{c_n}的前n项和S_n满足：S₁=5，S_n+1=2S_n+3ⁿ，又设a_n=S_n-3ⁿ，b_n=1+2log₂a_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若T_n=b₁a₁+b₂a₂+…+b_na_n，且T_n≥m恒成立，求T_n和常数m的范围；
（Ⅲ）证明：对任意的n∈N^*，不等式

b1

b1-1

•

b2

b2-1

•…•

bn

bn-1

＞

n+1

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ），又s₁-3¹=2，数列{S_n-3ⁿ}是首项为2，公比为2的等比数列，求得s_n，即可求得结论；
（Ⅱ）利用错位相减法求数列的和即可；
（Ⅲ）利用放缩法

bn

bn-1

=

2n+1

2n

n+(n+1)

2n

=

1

2

+

n+1

2n

≥2

1 2 • n+1 2n

=

n+1 n

，累乘即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n+1=2S_n+3ⁿ，
∴S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ），
又s₁-3¹=2，
∴数列{S_n-3ⁿ}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴S_n-3ⁿ=2ⁿ，∴S_n=3ⁿ+2ⁿ，
∴a_n=S_n-3ⁿ=2ⁿ，b_n=1+2log₂a_n=1+2n．
（Ⅱ）T_n=b₁a₁+b₂a₂+…+b_na_n=3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，
∴2T_n=3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹
∴-T_n=6+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=6+2×

22(1-2n-1)

1-2

-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=-1+（1-2n）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=1+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
∵T_n=1+（2n-1）•2ⁿ⁺¹≥5，
∴要使T_n≥m恒成立，只需m≤5即可．
（Ⅲ）∵b_n=1+2n．
∴

bn

bn-1

=

2n+1

2n

n+(n+1)

2n

=

1

2

+

n+1

2n

≥2

1 2 • n+1 2n

=

n+1 n

，
∴

b1

b1-1

•

b2

b2-1

•…•

bn

bn-1

≥

2 1 × 3 2 ×…× n+1 n

=

n+1

．

点评：本题主要考查利用构造法求数列的通项公式，错位相减法求数列的和及放缩法证明不等式成立问题，考查学生的运算求解能力，属于难题．