Question

设函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若f（1）＞0，试求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（Ⅱ）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,指、对数不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先研究函数的单调性，结合指数函数的性质进行研究；
（2）先换元，将问题转化为二次函数的问题来求解．

解答： 解：（I）∵f（1）＞0，∴a-

1

a

＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1，f（x）=a^x-a^-x
∴f（x）在R上为增函数，又f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），故该函数为奇函数；                                   
因此原不等式可化为：f（x²+2x）＞f（4-x），结合单调性得
x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0，
解得x＞1或x＜4，所以不等式解集为{x|x＞1或x＜4}．
（II）∵f(1)=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，解得a=2或a=-

1

2

（舍去）
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，
由（1）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数∵x≥1，∴t≥f（1）=

3

2

，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²　（t≥

3

2

）                
若m≥

3

2

，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2
若m＜

3

2

，当t=

3

2

时，h（t）_min=

17

4

-3m=-2，解得m=

25

12

＞

3

2

，舍去
综上可知m=2．

点评：利用函数的单调性解有些不等式往往能够将问题化繁为简，要注意和奇偶性相结合；涉及到指数式、对数式有关的稍稍复杂的不等式要注意能否采用换元法求解．