Question

【题目】数列满足：，，（表示不大于x的最大整数，）.试求的值.

Answer 1

【答案】998

【解析】

观察数列初始的一些项（见表1）.

表1

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	1	1	1	2	2	2	3	3	4	4
	1	2	3	4	6	8	10	13	16	20	24
	11	12	13	14	15	16	17	18	19		20
	4	5	5	6	6	7	7	8	8		8
	28	33	38	44	50	57	64	72	80		88

注意到，数列严格单增，每个正整数1，2，…顺次在数列中出现，并且除了首项之外，每个形如的数连续出现三次，其他数各连续出现两次.

一般地，可证明数列的以下性质：

（1）对任意的，若记，则.

（2）对任意的，若记，则当时，有

.

对k归纳.

据上面所列出的项知，当时结论成立.设

对于性质（1）、（2）成立，即在时，，则

.

再对满足的r归纳.

当r=1时，由于，则

.

因为

，

则.

设当时，均有.

当时，因为

，①

则，

，

即.

所以，.

由于

，

所以，.

故由归纳法，当，时，

.

特别地，当时，上式成为

②

又由式①得

.

当，，有

.

所以，.③

由式②、③可知，对于，当k=n+1时，亦有..

从而，性质（1）、（2）成立.

因为，取，则，.

因此，.