Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E、F分别是边BC、CA、AB上的点，且AE=AF，△AEF的外接圆交线段AD于点P.若点P满足，证明：.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

在△AEF的外接圆中，由于AE=AF，

故.

因此，P、D、B、F与P、D、C、E分别四点共圆.

于是，.

如图，设P在边BC、CA、AB上的射影分别为、、.则△.

由，得

.①

设△ABC的内心为I，下证：B、I、P、C四点共圆.

联结.因和分别四点共圆，

则.

又由式①，有.

所以，.

因此，..

而，，

所以，

又，

，.

故.

因此，B、I、P、C四点共圆.

于是，.

如图，延长AM交△ABC的外接圆于点O，则AO为外接圆的直径.于是，OB⊥AB，OC⊥AC，且OB=OI=OC.

因此，点O是点B、I、P、C所在圆的圆心.

从而，AB、AC为的切线.

延长AD交于点T，则.

所以，.

又由，得.

因AB=AC，故

.②

延长PM到点G，使GM=PM，则四边形BPCG为平行四边形有

.③

由式②得.④

由式③、④得.

所以，，即

.