Question

【题目】如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

（1）证明：MN∥平面A′ACC′；
（2）若二面角A′﹣MN﹣C为直二面角，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接AB′、AC′，

由已知∠BAC=90°，AB=AC，

三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，

所以M为AB′中点，

又因为N为B′C′的中点，

所以MN∥AC′，

又MN平面A′ACC′，

因此MN∥平面A′ACC′；

法二：取A′B′的中点P，连接MP、NP，

M、N分别为A′B、B′C′的中点，

所以MP∥AA′，NP∥A′C′，

所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，

又MP∩NP=P，因此平面MPN∥平面A′ACC′，

而MN平面MPN，

因此MN∥平面A′ACC′．

（2）

解：以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，如图，

设AA′=1，则AB=AC=λ，于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（0，0，1），B′（λ，0，1），C′（0，λ，1）．

所以M（ ），N（ ），

设 =（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，

由 ，得 ，

可取 ，

设 =（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，

由 ，得 ，

可取 ，

因为二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，

所以 ，

即﹣3+（﹣1）×（﹣1）+λ2=0，

解得λ= ．

【解析】（1）法一，连接AB′、AC′，说明三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，推出MN∥AC′，然后证明MN∥平面A′ACC′；
法二，取A′B′的中点P，连接MP、NP，推出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，然后通过平面与平面平行证MN∥平面A′ACC′．（2）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，设AA′=1，推出A，B，C，A′，B′，C′坐标求出M，N，设 =（x1 ， y1 ， z1）是平面A′MN的法向量，通过 ，取 ，设 =（x2 ， y2 ， z2）是平面MNC的法向量，由 ，取 ，利用二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，所以 ，解λ．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．