Question

【题目】设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x+x2 ．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]，求f（x）的解析式；
（3）计算：f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2008）．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），

∴f（x）为周期函数且4是它的一个周期

（2）证明：∵f（x）R上的奇函数，∴f（0）=0，f（2）=f（0+2）=f（0）=0，

满足f（x）=x2﹣2x，∴x∈[0，2]时，f（x）=x2﹣2x，

当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，∴f（﹣x）=x2+2x，

∴x∈[﹣2，0]时，∴f（x）=﹣[﹣f（x）]=x2﹣2x，

又当x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]，

∴f（x）=f（x﹣4）=﹣（x﹣4）2﹣2（x﹣4）=﹣x2+6x﹣8

（3）证明：由函数的周期性可得，原式的值=4×502=2008
【解析】（1）根据函数的周期性证明（2）利用周期性概念，奇偶性定义转化，（3）根据周期性整体求解得出即可