Question

已知a为实数，f(x)=(x²-4)(x-a)

(Ⅰ)求导数f′(x)；

(Ⅱ)若f′(-1)=0，求f(x)在[-2，2]上的最大值和最小值；

(Ⅲ)若f(x)在(-∞，-2]和[2，+∞)上都是递增的，求a的取值范围．

Answer 1

解：(Ⅰ)由原式得f(x)=x³-ax²-4x+4a，

∴f′(x)=3x²-2ax-4．

(Ⅱ)由f′(-1)=0得a=，此时有

f(x)=(x²-4)(x-)，f′(x)=3x²-x-4．

由f′(x)=0得x=或x=-1,

又f()=,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0,

所以f(x)在[-2，2]上的最大值为，最小值为．

(Ⅲ)解：f′(x)=3x²-2ax-4的图像为开口向上且过点(0，-4)的抛物线，由条件得f′(-2)≥0,f′(2)≥0，

即   ∴-2≤a≤2.

所以a的取值范围为[-2，2].