Question

已知a为实数，f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)．
（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）当f（x）是奇函数时，若方程f^-1（x）=log₂（x+t）总有实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设x₁＞x₂，代入函数解析式利用指数函数的单调性求得f（x₁）-f（x₂）＞0，进而可知f（x₁）＞f（x₂）推断出函数为增函数．
（2）利用f（x）是奇函数时，可推断出f（0）=0求得a，进而求得f^-1（x）的解析式，利用题设等式求得t的表达式，最后利用基本不等式求得t的最小值，进而求得t的范围．

解答：解：（1）设x₁＞x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-

2

2x1+1

+

2

2x2+1

∴x₁＞x₂，
∴2x1＞2x2
∴

2

2x1+1

＜

2

2x2+1

∴f（x₁）-f（x₂）=-

2

2x1+1

+

2

2x2+1

＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在定义域上为增函数．
（2）因为f（x）是R上的奇函数，所以f(0)=a-

2

20+1

=0，
即a=1．f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)
由log2

1+x

1-x

=log2(x+t)得t=(1-x)+

2

1-x

-2≥2

2

-2
当且仅当1-x=

2

1-x

，即x=1-

2

时等号成立，
所以，t的取值范围是[2

2

-2，+∞)．

点评：本题主要考查了函数单调性的判断和证明．一般是先设出定义域上的x₁＞x₂，根据f（x₁）和f（x₂）的大小来判断函数的单调性．