Question

2．已知点P（x，y）为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上任意一点，点Q（0，3），则|PQ|的最大值 4．

Answer 1

分析 设P（2cosα，sinα），表示出|PQ|=$\sqrt{（2cosα）^{2}+（sinα-3）^{2}}$，配方，利用二次函数及正弦函数性质，即可求|PQ|的最大值．

解答 解：设椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上一点P的坐标为（2cosα，sinα），（0≤α＜2π），
即有|PQ|=$\sqrt{（2cosα）^{2}+（sinα-3）^{2}}$，
=$\sqrt{4co{s}^{2}α+si{n}^{2}α-6sinα+9}$，
=$\sqrt{4（1-si{n}^{2}α）+si{n}^{2}α-6sinα+9}$，
=$\sqrt{-3si{n}^{2}α-6sinα+13}$，
=$\sqrt{-3（sinα+1）^{2}+16}$，
当sinα=-1时，|PA|取得最大值，且为4．
故答案为：4．

点评 本题考查椭圆的参数方程，两点之间的距离公式，考查二次函数与正弦函数的性质，考查计算能力，属于中档题．