Question

11．函数f（x）=a+$\frac{1}{{{4^x}+1}}$为定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；       
（2）判断函数f（x）在（-∞，+∞）的单调性并给予证明．

Answer 1

分析 （1）函数$f（x）=a+\frac{1}{{{4^x}+1}}$为定义在R上的奇函数．则f（0）=0，解得a的值；       
（2）证法一：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，作差判断f（x₂）与f（x₁）的大小，结合单调性的定义，可得函数f（x）在（-∞，+∞）的单调性；
证法二：求导，判断导函数的符号，进而可得函数f（x）在（-∞，+∞）的单调性．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=a+\frac{1}{{{4^x}+1}}$为定义在R上的奇函数．
∴f（0）=0，…（2分）
即$a+\frac{1}{{{4^0}+1}}=0$，解得$a=-\frac{1}{2}$．…（4分）
（2）由（1）知$a=-\frac{1}{2}$，则$f（x）=\frac{1}{2}+\frac{1}{{{4^x}+1}}$，…（5分）
函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，给出如下证明：…（6分）
证法一：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，…（7分）
则$f（{x_2}）-f（{x_1}）=（\frac{1}{2}+\frac{1}{{{4^{x_2}}+1}}）-$$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{{4^{x_1}}+1}}）$
=$\frac{1}{{{4^{x_2}}+1}}-$$\frac{1}{{{4^{x_1}}+1}}$=$\frac{{{4^{x_1}}-{4^{x_2}}}}{{（{4^{x_1}}+1）（{4^{x_2}}+1）}}$…（9分）
=$\frac{{{4^{x_1}}（1-{4^{{x_2}-{x_1}}}）}}{{（{4^{x_1}}+1）（{4^{x_2}}+1）}}$，…（10分）
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，∴${4^{{x_2}-{x_1}}}＞1$，∴$1-{4^{{x_2}-{x_1}}}＞0$，…（11分）
又∵${4^{x_1}}＞0$，${4^{x_1}}+1＞0$，${4^{x_2}}+1＞0$，
∴$\frac{{{4^{x_1}}（1-{4^{{x_2}-{x_1}}}）}}{{（{4^{x_1}}+1）（{4^{x_2}}+1）}}$＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．…（12分）
证法二：∵$f（x）=\frac{1}{2}+\frac{1}{{{4^x}+1}}$
∴$f′（x）=\frac{-ln4•{4}^{x}}{{（4}^{x}+1）^{2}}$，…（9分）
∵f′（x）＜0恒成立，…（11分）
故函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．…（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．