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对于函数f(x),若在其定义域内存在两个实数a,b(a<b),使当x∈[a,b]时,f(x)的值域也是[a,b],则称函数f(x)为“科比函数”.
(1)给出下列两个函数:①f(x)=x+1;②f(x)=x2,其中是“科比函数”的函数序号是

(2)若函数f(x)=k+
x+2
是“科比函数”,则实数k的取值范围是
(-
9
4
,-2]
(-
9
4
,-2]
分析:(1)根据定义域求出值域,然后寻找其定义域内存在两个实数a,b(a<b),使当x∈[a,b]时,f(x)的值域也是[a,b]的a与b的值,即可判定.
(2)根据题意可得到:
k+
a+2
=a
k+
b+2
=b
,即方程k+
x+2
=x有两个不相等的实数根,分别画出左右两边函数:y=
x+2
和y=x-k的图象,结合图象法可得答案.
解答:解:(1)①f(x)=x+1当x∈[a,b]时,f(x)的值域是[a+1,b+1],找不到满足条件的a与b,根据定义可知f(x)=x+1不是“科比函数”
②f(x)=x2,当x∈[0,1]时,f(x)的值域是[0,1],根据定义可知f(x)=x+1是“科比函数”
故答案为:②
(2)∵函数f(x)=k+
x+2
是“科比函数”,且是增函数,
k+
a+2
=a
k+
b+2
=b

此式表明:方程k+
x+2
=x有两个不相等的实数根,
即方程
x+2
=x-k有两个不相等的实数根,
分别画出左右两边函数:y=
x+2
和y=x-k的图象,
当直线y=x-k与曲线y=
x+2
相切时,
x+2
=x-k有唯一解,解得k=-
9
4

当直线y=x-k与曲线上的点(2,0)时,
解得k=-2;
结合图象可得:当两个函数的图象有两个不同的交点时,
实数k的取值范围是(-
9
4
,-2].
故答案为:(-
9
4
,-2].
点评:本题主要考查了函数与方程的综合运用,解题的关键是将原问题转化为方程的解,进而转化为函数图象的交点问题,利用数形结合的思想方法加以解决,属于中档题.
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对于函数f(x),若存在区间M=[a,b](其中a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”.给出下列4个函数:
①f(x)=(x-1)2;②f(x)=|2x-1|;③f(x)=cos
π2
x
;④f(x)=ex.其中存在“稳定区间”的函数有
 
(填出所有满足条件的函数序号)

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对于函数f(x),若在其定义域内存在两个实数a,b(a<b),使当x∈[a,b]时,f(x)的值域也是[a,b],则称函数f(x)为“科比函数”.若函数f(x)=k+
x+2
是“科比函数”,则实数k的取值范围是
 

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f(x)=ax2+bx+1(a>0)有两个相异的不动点x1,x2
(1)若x1<1<x2,且f(x)的图象关于直线x=m对称,求证:
12
<m<1;
(2)若|x1|<2且|x1-x2|=2,求b的取值范围.

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对于函数f(x),若f(x0)=x0,则称x0为f(x)的:“不动点”;若f[f(x0)]=x0,则称x0为f(x)的“稳定点”.函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即A={x|f[f(x)]=x}.
(1)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且A=∅,求证:B=∅;
(2)设函数f(x)=3x+4,求集合A和B,并分析能否根据(1)(2)中的结论判断A=B恒成立?若能,请给出证明,若不能,请举以反例.

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对于函数f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的不动点.若函数f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N*)有且仅有两个不动点0和2,且f(-2)<-
1
2

(1)试求函数f(x)的单调区间,
(2)已知各项不为0的数列{an}满足4Sn•f(
1
an
)=1,其中Sn表示数列{an}的前n项和,求证:(1-
1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an

(3)在(2)的前题条件下,设bn=-
1
an
,Tn表示数列{bn}的前n项和,求证:T2011-1<ln2011<T2010

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