Question

设函数f（x）=

1        (x≤ 3 ) 4-x2 ( 3 ＜x＜2) 0         (x≥2)

，则∫_-1²[f（x）+x]dx的值为

π

3

+

5+ 3

2

．

Answer 1

分析：将∫_-1²[f（x）+x]dx转化成

∫

3 -1

[f（x）+x]dx+

∫

2 3

[f（x）+x]dx，然后利用定积分运算法则进行求解．

解答：解：∫_-1²[f（x）+x]dx
=

∫

3 -1

[f（x）+x]dx+

∫

2 3

[f（x）+x]dx
=

∫

3 -1

（1+x）dx+

∫

2 3

（

4-x2

+x]dx
=（x+

1

2

x²）

|

3 -1

+

∫

2 3

4-x2

dx+（

1

2

x²）

|

2 3

=（

3

+

3

2

）-（-1+

1

2

）+

1

12

×4π-

3

2

+2-

3

2

=

π

3

+

5+ 3

2

其中

∫

2 3

4-x2

dx的计算利用几何意义，用

1

12

的圆的面积-直角三角形的面积
故答案为：

π

3

+

5+ 3

2

点评：本题主要考查了分段函数的定积分，以及定积分的几何意义，同时考查了计算能力，属于中档题．